「自然数全体の集合」と「有理数(2つの自然数の組み合わせ)全体の集合」の一対一対応のときは可能無限的に考えている。
「自然数全体の集合」と「自然数全体の集合のべき集合 (すべての部分集合)」 の一対一対応を考える時に、可能無限的に、部分集合の最大数を小さい順に並べていくと(最大数が同じときは要素数の小さい順に)、「有理数全体の集合」のときと同じように一対一対応になりそうである。
しかし、カントールの対角線論法により、一対一対応だとすると矛盾を生じる。
それでは仮定のどこが誤りなのか?
【有限集合の場合】
「N以下のすべての自然数の集合」とその「べき集合」を一対一対応させる。
「N以下のすべての自然数の集合」の要素数はN、その「べき集合」の要素数は2^Nである。
2^N>Nである。
カントールの対角線論法は、部分集合の最大数を小さい順に並べていくと(最大数が同じときは要素数の小さい順に)、1~Nに対応する部分集合は全体集合とは異なる。すなわち全体集合が余っているので、「べき集合」の要素数の方が多い、ということを言っている。
【無限集合の場合】
N=∞の時、
2^∞>∞となるか?
あるいは、2^∞=∞となるか?
カントールの対角線論法によると、1~∞に対応する部分集合は全体集合とは異なる。すなわち全体集合が余っているので、「べき集合」の要素数の方が多い、ということを言っている。
しかし、可能無限の考え方だと、一対一対応させる作業が無限に続く。即ち、作業が終わらないので比較できないということになる。
【無限集合自体が】
もともと「自然数全体の集合」という言い方が、かなり大雑把である。